Ακίνδυνη Στατιστική

In defence of AGB

Το 1964 στο Λος Άντζελες μια ξανθιά γυναίκα με αλογοουρά αρπάζει την τσάντα μιας άλλης γυναίκας. Διαφεύγει τρέχοντας αλλά τη βλέπουν να μπαίνει σ' ένα κίτρινο αυτοκίνητο, ο οδηγός του οποίου ήταν μαύρος με γένι και μουστάκι. Η αστυνομία μετά από έρευνες ανακαλύπτει μια ξανθιά γυναίκα με αλογοουρά, που σχετίζεται με έναν μαύρο άνδρα γενειοφόρο και μυστακοφόρο, που είναι και κάτοχος κίτρινου αυτοκίνητου. Δεν υπάρχουν απτά στοιχεία που να τους συνδέουν με την κλοπή και κανένας μάρτυρας δεν τους αναγνωρίζει ως τους δράστες. Ωστόσο συμφωνούν ως προς τα γεγονότα.

Ο εισαγγελέας υποστήριξε πως τόσο χαμηλή ήταν η πιθανότητα να υπάρχει ένα ζευγάρι αυτών των προδιαγραφών, που πρέπει η αστυνομία να συνέλαβε τους πραγματικούς ενόχους. Υπολόγισε τις πιθανότητες των ζητούμενων χαρακτηριστικών ως εξής: κίτρινο αυτοκίνητο 1/10, άνδρας με μουστάκι 1/4, γυναίκα με αλογοουρά 1/10, γυναίκα με ξανθά μαλλιά 1/3, μαύρος άνδρας με γένι 1/10, μεικτό ζευγάρι σε αυτοκίνητο 1/1.000 . Επιπλέον υποστήριξε πως τα χαρακτηριστικά αυτά είναι ανεξάρτητα μεταξύ τους κι έτσι η πιθανότητα ένα τυχαίο ζευγάρι να τα συγκεντρώνει όλα θα ήταν 1/10 x 1/4 x 1/10 x 1/3 x 1/10 x 1/1,000 = 1/12.000.000 , άριθμός τόσο μικρός ώστε να θεμελιώνει την ενοχή του ζευγαριού.

Οι ένορκοι τους καταδίκασαν.

Η απόφαση εφεσιβλήθηκε ενώπιον του ανωτάτου δικαστηρίου της Καλιφόρνιας. Και ανατράπηκε επί τη βάσει ένος άλλου πιθανολογικού επιχειρήματος. Ο συνήγορος υπεράσπισης υποστήριξε ότι η μία στα δώδεκα εκατομμύρια, δεν ήταν η ουσιαστικής σημασίας πιθανότητα. Σε μια πόλη του μεγέθους του Λος Άντζελες, με ίσως και 2.000.000 ζευγάρια, η πιθανότητα να υπάρχουν κι άλλα ζευγάρια με τέτοια χακτηριστικά δεν θα ήταν τόσο μικρή, λαμβανομένου υπόψιν πως ήδη υπήρχε ένα τέτοιο ζευγάρι, αυτό των καταδικασθέντων. Με τη χρήση της διωνυμικής κατανομής πιθανότητας και το νούμερο του 1/12.000.000 η πιθανότητα αυτή μπορεί να υπολογιστεί περίπου 8 τοις εκατό - μικρή αλλά σίγουρα ικανή για εύλογη αμφιβολία. Το ανώτατο δικαστήριο της Καλιφόρνιας συμφώνησε και αναίρεσε την προηγούμενη καταδικαστική απόφαση.

Τσάτρα-πατρα μετάφραση από το πολύ ωραίο βιβλίο του John Allen Paulos (ναι, ελληνικής καταγωγής) Innumeracy, Mathematical Illiteracy and Its Consequences (στα ελληνικά, Αριθμοφοβία εκδ. Αλεξάνδρεια).

Συμπερασμα: Μπορεί η πιθανότητα κάποιος να δει ροζ ελέφαντα στη χιονισμένη ύπαιθρο της Νορβηγίας να είναι πολύ μικρή. Αλλά αν αυτό συμβεί, η πιθανότητα να δει τρεις ροζ ελέφαντες αυξάνεται θεαματικά.